文章目录

• 1. PCA优化目标
• 2.理论依据
• • • 2.1 矩阵换基底
    • 2.2 拉格朗日乘子法
    • 2.3 协方差矩阵
  • 2.4 特征向量和奇异值分解
  • • 2.4.1 特征向量
    • 2.4.2 奇异值分解
    • 2.4.3 特征向量和奇异值分解的关系
• 3 PCA
• • 3.1 PCA推导
  • 3.2 PCA过程总结

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前言
该文章转载自
https://blog.csdn.net/QQ2627866800/article/details/86656237
自己做了点修订

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1. PCA优化目标

用较少特征地数据表达较多特征地数据
PCA推导有两种主要思路：
        1 最大化数据投影后的的方差（让数据更分散）
        2 最小化投影造成的损失
        下图中旋转的是新坐标轴，每个数据点在该坐标轴上垂直投影，最佳的坐标轴为数据投影后各点数据之间距离最大。

2.理论依据

2.1 矩阵换基底

坐标变换的目标是，找到一组新的正交单位向量，替换原来的正交单位向量。
$$\text{ 假设存在向量 }a=\left[\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right],\text{ 要将其变换为以 }u=\left[\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\text{ 为新基底地坐标上, 求在新坐标系中的坐标 }$$

$\because$ 向量 $a$ 在向量 $u$ 上的投影距离 $\mathrm{s}:$
$$s=\Vert a\Vert \cdot \cos \theta =\frac{a\cdot u}{\Vert u\Vert }=a\cdot u$$
其中： $\theta$ 表示两个向量之间的夹角
$$\therefore a_u=u^T\cdot a,a_v=v^T\cdot a$$
$\therefore$ 向量 $a$ 在新坐标系中的坐标可以表示为:
$$a_{new}={\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]}^T\cdot a=\left[\begin{array}{l}{u}^T\cdot a\\ v^T\cdot a\end{array}\right]$$
如果矩阵 $\mathrm{A}$ 的列向量分别表示原来坐标系中的点, 那么在新坐标系中的坐标为：
$$A_{new}={\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]}^T\cdot A$$

2.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法主要提供了一种求解函数在约束条件下极值的方法。下面还是通过一个例子说明。 假设存在一个函数 $f(x,y),$ 求该函数在 $g(x,y)=c$ 下的极值 (可以是极大, 也可以极小)

通过观察我们发现，在极值点的时候两个函数必然相切, 即此时各自的导数成正比, 从而：
$$\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}\\ g(x,y)=c\end{array}$$
通过联立上述三个公式, 既可以求出最终结果。拉格朗日算子的主要思路同上, 不过他假设了一个新的函数：
$$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda [c-g(x,y)]$$
然后分解求：
$$\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=0\\ \frac{\partial F}{\partial y}=0\\ \frac{\partial F}{\partial \lambda }=0\end{array}$$
从而完成求解过程

2.3 协方差矩阵

假设有一组数据：
$$\begin{array}{cccc}\text{ 样本编号 }& \text{ 变量 }x\text{ (如发传单数量) }& \text{ 变量 }y\text{ (如购买数量) }& \text{ 变量 }z\text{ (如购买总价 })\\ 1& 1& 2& 3\\ 2& 35& 25& 55\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$$
协方差研究的目的是变量 (特征) 之间的关系, 也就是上表中的发传单数量、购买数量、购买总额之间的相关情况 上表数据用矩阵表示为:
$$X=\left[\begin{array}{lll}1& 35& \cdots \\ 2& 25& \cdots \\ 3& 55& \cdots \end{array}\right]$$
那么两两变量之间的关系：
$$\begin{array}{l}\mathrm{cov}(x,y)=E[(1-E(x))(2-E(y))+(35-E(x))(25-E(y))+\cdots ]\\ \mathrm{cov}(x,z)=E[(1-E(x))(3-E(z))+(35-E(x))(55-E(z))+\cdots ]\end{array}$$
如果 $E(x)=E(y)=E(z)=0$ (可以通过数据初始化实现，即减去平均值)，那么上述的协方差关系可以用如下矩阵乘法表示:
$$\mathrm{cov}(X)=\frac{1}{m}X{X}^T=\left[\begin{array}{lll}\mathrm{cov}(x,x)& \mathrm{cov}(x,y)& \mathrm{cov}(x,z)\\ \mathrm{cov}(y,x)& \mathrm{cov}(y,y)& \mathrm{cov}(y,z)\\ \mathrm{cov}(z,x)& \mathrm{cov}(z,y)& \mathrm{cov}(z,z)\end{array}\right]$$

2.4 特征向量和奇异值分解

2.4.1 特征向量

假设：左侧矩形由 $\left[\begin{array}{ll}i& j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 定义, 右侧矩形由 $\left[\begin{array}{ll}{i}^{\prime }& j^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ 定义。
根据 2.1 矩阵拉伸变换的结果, 变换矩阵 $A=\left[\begin{array}{c}{u}^T\\ v^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right],$ 即 :
$$A\cdot \left[\begin{array}{ll}i& j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{i}^{\prime }& j^{\prime }\end{array}\right]$$
在应用变换矩阵变换时，我们发现存在与上图中红色向量平行的向量$a,$ 他们总满足：
$$A\cdot a//a$$
即：
$$A\cdot a=\lambda \cdot a$$
所以：红色的特征向量不受变换矩阵的影响, 仍保持原来的方向, 我们称这类向量为变换矩阵A的特征向量, 对应的 Vambda 为特征值。又因为特征向量有很多个, 即 :
$$A\cdot a_i={\lambda }_i\cdot a_i$$
所以:
$$A\cdot \left[\begin{array}{lll}{a}_1& a_2& \cdots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{a}_1& a_2& \cdots \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & \ddots \end{array}\right]\Rightarrow A=Q\cdot \Sigma \cdot Q^{-1}$$
其中：Q的列向量都是A变换矩阵的特征向量
另外，在做旋转变换时，要求变换前后的坐标维度不发生改变, 即A须为方阵
综上：如果方阵A满足 $A=Q\cdot \Sigma \cdot Q^{-1},$ 那么Q为特征向量,$\Sigma$ 为对应的特征值

2.4.2 奇异值分解

奇异值分解（svd: singular value decomposition ) 定义：对于任意的矩阵A，存在：
$$A_{m\times n}=U_{m\times m}\cdot {\Sigma }_{m\times n}\cdot V_{n\times n}^T$$其中:
$$\begin{array}{l}{U}^T\cdot U=I_m\\ V^T\cdot V=I_n\end{array}$$即：U的列向量两两正交且模为1， V列向量两两正交且模为1，即：
$$U^T=U^{-1}$$$$V^T=V^{-1}$$

2.4.3 特征向量和奇异值分解的关系

对于任意矩阵 $\mathrm{A},$ 对A做svd有：
$$A{A}^T=U\Sigma V^T\cdot V\Sigma U^T=U{\Sigma }^2{U}^{-1}$$
令 ${\Sigma }^{\prime }={\Sigma }^2,$ 则:
$$A{A}^T=U{\Sigma }^{\prime }{U}^{-1}$$
满足 $A=Q\Sigma Q^{-1}$ 特征向量定义
所以 AA^T 能实现特征分解, 又因为：
$$A{A}^T=\underset{svd}{U^{\prime \prime }{\Sigma }^{\prime \prime }{V}^{\prime \prime T}}$$
所以:
$$\begin{array}{c}U=U^{\prime \prime }\\ {\Sigma }^{\prime }={\Sigma }^{\prime \prime }\\ U^{-1}=V^{\prime \prime }\Rightarrow U=V^{\prime \prime }\end{array}$$
因此：对 $A{A}^T$ 做SVD，那么得到的U"列向量为特征向量 (对应A的U矩阵)， ${\Sigma }^{\prime \prime }$ 为特征值对角阵
同理: 对 $A^{T}A$ 做SVD，那么得到的U"列向量为特征向量 (对应A的V矩阵)， ${\Sigma }^{\prime \prime }$ 为特征值对角矩阵

3 PCA

3.1 PCA推导

PCA的目标是找到一组新的正交基 $\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}$ (从n维下降到k维)， 使得n维数据点在该正交基构成的平面上投影后，投影数据点间的距离最大, 即数据间的方差最大。如果数据在每个正交基上投影后的方差最大, 那么同样满足在正交基所构成的平面上投影距离最大。

根据2.1，先考虑一个正交基 $u_j,$ 数据点 $x_i$ 在该基底上的投影距离为 $x_i^T\cdot u_j,$ 所以所有的$m$个$n$维样本数据在该基底上投影的方差 $J_j$ 为：
$$J_j=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\left(x_i^T{u}_j-x_{\text{center}}^T{u}_j\right)}^2$$$$J_j=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\left(x_i^T{u}_j\right)}^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(u_j^T{x}_i\cdot x_i^T{u}_j\right)=u_j^T\cdot \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(x_i{x}_i^T\right)\cdot u_j$$所以:$$J_j=u_j^T\cdot \frac{1}{m}\left(x_1{x}_1^T+x_2{x}_2^T+\cdots +x_m{x}_m^T\right)\cdot u_j=u_j^T\cdot \frac{1}{m}\left(\left[\begin{array}{lll}{x}_1& \cdots & x_m\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1^T\\ ⋮\\ x_m^T\end{array}\right]\right)\cdot u_j==\frac{1}{m}{u}_j^{T}X{X}^T{u}_j$$
假设 $S_{n\times n}=\frac{1}{m}X{X}^T,$ 则 $:J_j=u_j^T\cdot S\cdot u_j,$ 根据PCA目标, 我们需要求解 $J_j$ 最大时对应 的 $u_j$ 根据 2.2 中的拉格朗日算子 (求极值) 求解：
$$J_j=u_j^{T}S{u}_j$$$$\text{ s.t. }{u}_j^T{u}_j=1$$
则构造函数：
$$F\left(u_j\right)=u_j^{T}S{u}_j+{\lambda }_j\left(1-u_j^T{u}_j\right)$$
求解 $\frac{\partial F}{\partial u_j}=0,$ 得:
$$2S\cdot u_j-2{\lambda }_j\cdot u_j=0\Rightarrow S{u}_j={\lambda }_j{u}_j$$
结合2.4.1则：当 $u_j、{\lambda }_j$ 分别为S矩阵的特征向量、特征值时, $J_j$ 有极值, 把上述结果带回公式得$J_j$最大值:
$$J_{j_m}=u_j^T{\lambda }_j{u}_j={\lambda }_j$$
所以对于任意满足条件的正交基$\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}$ ，对应的数据在上面投影后的方差值为S矩阵的特征向量, 从而：
$$J_{\max }=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j,\lambda \text{ 人大到小排序 }$$
所以投影正交基为S的特征向量中的前k个最大特征值对应的特征向量。 接下来对S进行特征分解, 根据2.4.3特征向量和svd的关系结论, S的特征向量集合：
$$U=U\text{ of }\mathrm{svd}(S)=U\text{ of }\mathrm{svd}\left(\frac{1}{m}X{X}^T\right)$$另外, 由于 $S=\frac{1}{m}X{X}^T$ 由于X已0均值处理, 根据2.3 协方差矩阵定义：S为数据集X的协方差矩阵。 综上, 即可得到满足投影后数据距离最大的新的正交基 $\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}$ 因此降维后的数据为：
$$X_{ne{w}_{k\times m}}={\left[\begin{array}{c}{u}_1^{T^{\prime }}\\ u_2^T\\ ⋮\\ u_k^T\end{array}\right]}_{k\times n}\cdot X_{n\times m}$$

3.2 PCA过程总结

PCA流程如下：

初始化 $X,$ 使得所有样本之间的特征值均值为0, 同时应用feature scaling, 缩放到-0.5 $\sim 0.5$;

计算X的协方差矩阵S;

对S进行SVD分解, U即我们要求的新坐标系集合, $\Sigma$ 为特征值集合 (计算时特征值都会大于0, 且结果会从小到大 排列) ;

按照特征值从大到小排序, 要降低为k维, 那么取前k个特征值对应的特征向量, 就是新的k个坐标轴

把X映射到新的坐标系中, 完整降维操作;
根据之前的公式, 做PCA投影后, 投影数据的方差：
$$Va{r}_{X_{project}}=\sum _{j=1}^k{J}_j=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j$$
又因为：数据从n维投影新的n维的坐标系, 方差不会发生改变 (向量的模长度相等且为1，可以用2D坐标系投影到45-135 度坐标系验证)，即：
$$Va{r}_X=Va{r}_{X_{\text{project }}}=\sum _{j=1}^n{J}_j=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j$$
即：X的协方差矩阵的特征值和对应X的方差

总结

以上是生活随笔为你收集整理的详细推导PCA算法（包括算法推导必备的知识）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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