最优化——单纯形法

一般性线性规划标准型为对象总结其基本步骤
$$\begin{array}{ll}\max & z\\ \text{ s.t. }& P_1{x}_1+P_2{x}_2+\cdots +P_n{x}_n=b---(1)\\ & c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n=z---(2)\\ & x_j\ge 0,\forall 1\le j\le n\end{array}$$

步骤一：求广义基本可行解

已知一个可逆方阵 $B=\left(P_{j(1)},P_{j(2)},\cdots ,P_{j(m)}\right)$ 满足
$$B^{-1}b\ge 0$$
其中 $1\le j(i)\le n,\forall 1\le i\le m,$ 即 $B$ 是线性规划标准型 的可行基阵

由$B$可以把线性约束(1)$P_1{x}_1+P_2{x}_2+\cdots +P_n{x}_n=b$改写为
$$\begin{array}{l}\iff \left(P_{j(1)},\cdots ,P_{j(m)}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{j(1)}\\ ⋮\\ x_{j(m)}\end{array}\right)+P_{j(m+1)}{x}_{j(m+1)}+\cdots +P_{j(n)}{x}_{j(n)}=b\\ \iff \left(\begin{array}{c}{x}_{j(1)}\\ ⋮\\ x_{j(m)}\end{array}\right)+\left(B^{-1}{P}_{j(m+1)}\right)x_{j(m+1)}+\cdots +\left(B^{-1}{P}_{j(n)}\right)x_{j(n)}=B^{-1}b\end{array}$$
可以得到一个基本可行解$X=(x_1...x_n{)}^T$的表达式：

$X_B=\left(\begin{array}{c}{x}_{j(1)}\\ ⋮\\ x_{j(m)}\end{array}\right),(x_{j(m+1)}...x_{j(n)})=0$

对应线性约束的表达式变为如下:
$$X_B+{\hat{P}}_{j(m+1)}{x}_{j(m+1)}+\cdots +{\hat{P}}_{j(n)}{x}_{j(n)}={\hat{P}}_{n+1}---（3）$$
其中${\hat{P}}_j=B^{-1}{P}_j=\left(\begin{array}{c}{\hat{p}}_{1j}\\ ⋮\\ {\hat{p}}_{mj}\end{array}\right),\forall 1\le j\le n,{\hat{P}}_{n+1}=B^{-1}b$

步骤二：求检验数

记 $C_B={\left(c_{j(1)},\cdots ,c_{j(m)}\right)}^T,$

用$C_B$左乘(3) 得 $C_B^T{X}_B+C_B^T{\hat{P}}_{j(m+1)}{x}_{j(m+1)}+\cdots +C_B^T{\hat{P}}_{j(n)}{x}_{j(n)}=C_B^T{\hat{P}}_{n+1}---(4)$

目标函数(2)用$C_B$可以写成： $C_B^T{X}_B+c_{j(m+1)}{x}_{j(m+1)}+\cdots +c_{j(n)}{x}_{j(n)}=z---(5)$

用(5)-(4)得：
$\begin{array}{c}z-C_B^T{\hat{P}}_{n+1}=\left(c_{j(m+1)}-C_B^T{\hat{P}}_{j(m+1)}\right)x_{j(m+1)}+\cdots +\left(c_{j(n)}-C_B^T{\hat{P}}_{j(n)}\right)x_{j(n)}---(6)\\ z-\hat{z}={\sigma }_{j(m+1)}{x}_{j(m+1)}+\cdots +{\sigma }_{j(n)}{x}_{j(n)}---(7)\end{array}$
$C_B^T{\hat{P}}_{n+1}$就是第一步中$X$所求得的一个可行基本解的目标函数值$\hat{z}$，这个可以把$X_B=\left(\begin{array}{c}{x}_{j(1)}\\ ⋮\\ x_{j(m)}\end{array}\right),(x_{j(m+1)}...x_{j(n)})=0$带入(4)和(5)就可以看出来。

步骤三：得到单纯形表

其中 $\left({\hat{P}}_{j(1)},\cdots ,{\hat{P}}_{j(m)}\right)=I_m,\hat{z}=C_B^T{\hat{P}}_{n+1}=C_B^T{B}^{-1}b$

${\sigma }_j=c_j-C_B^T{\hat{P}}_j=c_j-C_B^T{B}^{-1}{P}_j,\forall 1\le j\le n$

称 ${\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n$ 为检验数，可看出基变量检验数等于0

总结

以上是生活随笔为你收集整理的最优化——单纯形法，单纯形表的求取的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。