洛谷2766：[网络流24题]最长不下降子序列问题——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766

给定正整数序列x1,...,xn 。

（1）计算其最长不下降子序列的长度s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

第一问用dp求解不多说了。

考虑第二问，每个数只用一次很好办，把数拆点（入点和出点）中间连边权为1的边即可。

现在的问题就是如何让它能够跑满s个点。

我们设dp[i]表示以x[i]元素结尾的最长不下降子序列的长度，则。

显然dp[i]==s的时候我们扫到了一个合法解，我们i出点与汇点连边权为1的边。

那么在他前面的dp[j]==s-1且x[j]<=x[i]的说明合法解可以包含x[j]。所以j出点和i入点连边权为1的边。

那么dp[i]==1的i的入点就可以和S连边权为1的边。

跑网络流即可得到（2）答案。

至于（3），将和1和n有关的边都改成INF即可。

#include<cstdio> #include<cmath> #include<iostream> #include<vector> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> using namespace std; const int N=2001; const int M=800001; const int INF=1e9; inline int read(){int X=0,w=0;char ch=0;while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X; } struct node{int nxt,to,w; }edge[M]; int head[N],cnt=-1,S,T; inline void add(int u,int v,int w){edge[++cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;edge[++cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt; } int lev[N],cur[N],dui[N]; bool bfs(int m){int r=0;for(int i=1;i<=m;i++){lev[i]=-1;cur[i]=head[i];}dui[0]=S,lev[S]=0;int u,v;for(int l=0;l<=r;l++){u=dui[l];for(int e=head[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){v=edge[e].to;if(edge[e].w>0&&lev[v]==-1){ lev[v]=lev[u]+1;r++;dui[r]=v; if(v==T)return 1; }}}return 0; } int dinic(int u,int flow,int m){if(u==m)return flow;int res=0,delta;for(int &e=cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){int v=edge[e].to;if(edge[e].w>0&&lev[u]<lev[v]){ delta=dinic(v,min(edge[e].w,flow-res),m); if(delta>0){edge[e].w-=delta;edge[e^1].w+=delta;res+=delta;if(res==flow)break; }}}if(res!=flow)lev[u]=-1;return res; } int dp[N],a[N]; int main(){memset(head,-1,sizeof(head));int n=read();for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();dp[i]=1;}int s=0;S=2*n+1,T=S+1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[i]<=a[j])dp[j]=max(dp[j],dp[i]+1);s=max(s,dp[i]);}printf("%d\n",s);for(int i=1;i<=n;i++){add(i,i+n,1);if(dp[i]==1)add(S,i,1);if(dp[i]==s)add(i+n,T,1);for(int j=i+1;j<=n;j++){if(a[i]<=a[j]&&dp[j]==dp[i]+1)add(i+n,j,1);}}int ans=0;while(bfs(T))ans+=dinic(S,INF,T);printf("%d\n",ans);add(1,1+n,INF);add(n,n+n,INF);if(dp[1]==1)add(S,1,INF);if(dp[n]==s)add(n+n,T,INF);while(bfs(T))ans+=dinic(S,INF,T);printf("%d\n",ans);return 0; }

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总结

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