集合习题
基础习题
例1已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(B\subseteq A\)，则实数\(m\)的取值范围是什么？
分析：集合A为定集，集合B为动集，又因为出现了条件\(B\subseteq A\)，故需要针对集合B分类讨论如下：
1、当集合\(B=\varnothing\)时，则有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；
2、当集合\(B\neq\varnothing\)时，必须满足三个条件，即\(\begin{cases}&m+1<2m-1\\&-2\leq m+1\\&2m-1\leq 7\end{cases}\)，解得\(2<m\leq 4\)；
综上所述：实数\(m\)的取值范围是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。
例1-1上例中是否存在实数\(m\)，使得\(A\subseteq B\)？若存在，求其取值范围，若不存在说明理由。
分析：自行画出草图可知，若存在满足题意的实数\(m\)，则必满足条件\(\begin{cases}&m+1< -2\\&2m-1> 7\end{cases}\)，解得\(m\in \varnothing\)。故这样的实数不存在。
例2若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求实数\(m\)的取值范围。
分析：自行画出草图可知，先列出条件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，接下来验证\(m=-3\)是否满足题意。
当\(m=-3\)时，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此时\(A=B\)，不满足题意，舍去，故实数\(m\)的取值范围为\(\{m\mid m<-3\}\)。
例3已知集合\(A=\{2x，\cfrac{y-1}{x}，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+y，0\}\)，若\(A=B\)，求\(x+y\)=____________.
分析：本题目就对应相等的方向上有\(A\rightarrow B\)和\(B\rightarrow A\)两个方向，但是由\(B\rightarrow A\)比较简单，故求解如下
由\(0=2x\)，推出集合A中分母为0，故只能是\(0=\cfrac{y-1}{x}\)，故\(y=1\)，此时集合\(A=\{2x，0，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+1，0\}\)，这时候的对应要么\(2x=x^2\)要么\(2x=x+1\)，
当\(2x=x^2\)时，解得\(x=0或x=2\)，当\(x=2\)时，集合\(A=\{4，0，1\}\)，集合\(B=\{4，3，1\}\)，验证都不满足题意；
当\(2x=x+1\)时，解得\(x=1\)，验证得到此时\(A=\{2，0，1\}=B=\{1，2，0\}\)，满足题意，则\(x=1\)，故\(x+y=2\)。
例4(2015☆太原月考)已知集合\(M=\{(x，y)\mid y=x^2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid y=2^x\}\)，则\(M\cap N\)的元素个数是几个？
分析：应该比较容易想到\(M\cap N\)的元素个数就是两个函数的图像的交点个数，但难点是这两个函数图像的交点，绝大多数学生会画错的，在\(x<0\)处有一个交点，在\(x>0\)处应该有两个交点，因为\(x=2\)或\(x=4\)时，\(x^2=2^x\)。故所求的元素个数是3个。
例5已知集合\(A=\{0,1,2\}\)，集合B满足\(A\cup B=\{0,1,2\}\)，则满足题意的集合B的个数是几个？
分析：由题目可知，本题实质是求集合A的所有子集的个数，故有\(2^3=8\)个。
例6已知集合\(A=\{-1,1\}\)，集合B满足\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，则满足题意的集合B的个数是几个？
分析：由于要求\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，故集合\(B\)的构成分为两步：第一步必须选必选元素\(0\)，第二步从可选元素\(-1,1\)中分别选出0个，1个，2个元素，即就是求集合\(\{-1,1\}\)的所有子集的个数，故有\(2^2=4\)个。
例7(2017铜川模拟)若集合\(A=\{x \in R\mid ax^2-3x+2=0\}\)中只有一个元素，求\(a\)的值。
分析：由于给定的方程\(ax^2-3x+2=0\)是仿二次方程，故需要针对\(a\)分类讨论：
当\(a=0\)时，\(x=\cfrac{2}{3}\)，此时\(A=\{\cfrac{2}{3}\}\)满足题意；
当\(a\neq 0\)时，二次方程必须有两个相等的根，由\(\Delta=0\)得到\(a=\cfrac{9}{8}\)，
故\(a=0\)或\(a=\cfrac{9}{8}\)。
例8设集合A=\(\{x\in R\mid 2x^2+ax-a^2=0\}\)，\(1\in\) A，\(-2\not\in\) A。
(1)求\(a\)的值，并写出A的所有子集。
(2)若集合B=\(\{x\in R\mid x^2+(m-3)x+m=0\}\),\((C_RA)\cap B=\varnothing\),求实数\(m\)的集合。
【解析】(1)因为\(1\in A\)，所以\(2×1^2+a×1-a^2=0\)，解得\(a=-1\)或\(a=2\)
当\(a=2\)时，\(A=\{1，-2\}\)，与已知\(-2\not\in A\)矛盾，所以\(a\neq 2\)
当\(a=-1\)时，\(A=\{ x\in R\mid 2x^2-x-1=0\}=\{1，-\cfrac{1}{2}\}\)，符合题意。
所以A的所有子集为\(\varnothing\)，\(\{1\}\)，\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，\(\{1，-\cfrac{1}{2}\}\)。
(2)因为\((C_RA)\cap B=\varnothing\)，所以\(B\subseteq A\)，由于方程\(x^2+(m-3)x+m=0\)的判别式\(\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9\)，所以按照判别式的符号分类讨论如下：
①当\(\Delta<0\)即\(1<m<9\)时，集合B为空集，符合题意。
②当\(\Delta=0\)即\(m=1\)或\(m=9\)时，若\(m=1\)，则\(B=\{1\}\)，符合题意，若\(m=9\)，则\(B=\{-3\}\)，不符合题意，舍去。
③当\(\Delta>0\)即\(m<1\)或\(m>9\)时，集合\(B\)有两个元素，所以\(B=A\)，所以\(\begin{cases}-\cfrac{1}{2}+1=-(m-3)\\(-\cfrac{1}{2})\times1=m\end{cases}\)矛盾，舍去。所以实数\(m\)的值构成的集合为\([1，9)\)。
例9已知集合\(A=\{1，2，3，4，5\}\) ，\(B=\{x-y\mid x\in A，y\in A，x-y\in A\}\),则\(B\)中所含元素的个数为 ( )
A.3 \(\hspace{2cm}\) B.6 \(\hspace{2cm}\) C.8 \(\hspace{2cm}\) D.10
【解析】选D，由\(x \in A\)，\(y \in A\)得\(x-y=0\)或\(x-y=\pm1\)或\(x-y=\pm2\)或\(x-y=\pm3\)或\(x-y=\pm4\),所以集合\(B=\{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)， (5，3)，(5，4)\}\)，所以集合\(B\)有10个元素。
例10若集合\(A=\{x\mid (k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且仅有两个子集 ，则实数\(k\)的取值为 【】
\(A.2或-1\) \(\hspace{2cm}\) \(B.-2或-1\) \(\hspace{2cm}\) \(C.-2\) \(\hspace{2cm}\) \(D.\pm 2或-1\)
分析：有题目可知，集合\(A\)有且仅有两个子集，说明集合\(A\)应该为单元素集合，
从而说明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)，可能有一次方程和二次方程两种情形。
当\(k=-2\)时，原方程变形为一次方程\(-4x+1=0\)，仅有一个解，适合题意；
当\(k\neq -2\)时，原方程要仅有一个解，则必须\(\Delta =0\)，即\((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\)，解得\(k=2\)或\(k=-1\)，满足题意，
综上所述，实数\(k\)的取值为\(\pm 2或-1\)，故选\(D\)。
例11若集合\(M=\{0，1，2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid x-2y+1\ge 0且x-2y-1\leq 0，x，y\in M\}\)，则集合\(N\)的非空真子集的个数为 【】
\(A.30\) \(\hspace{2cm}\) \(B.14\) \(\hspace{2cm}\) \(C.16\) \(\hspace{2cm}\) \(D.32\)
分析：由于\(x，y\in M\)，集合\(M=\{0，1，2\}\)，故点\((x，y)\)的所有取值情形有9种，
即有\((0，0)\)，\((0，1)\)，\((0，2)\)，\((1，0)\)，\((1，1)\)，\((1，2)\)，\((2，0)\)，\((2，1)\)，\((2，2)\)，
将其分别代入条件\(x-2y+1\ge 0\)和\(x-2y-1\leq 0\)验证，可知，\(N=\{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)\}\)，
故集合\(N\)的非空真子集的个数为\(2^4-2=14\)，选\(B\)。
例12已知集合\(A=\{x\mid 2x^2-3x-2\leq 0\}\)，\(B=[a，a+2]\)，若\(A\cap B=B\)，则实数\(a\)的取值范围是【】
$A.[-\cfrac{5}{2}，-\cfrac{1}{2}]$ $B.[-\cfrac{1}{2}，0]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，2]$ $D.[0，2]$分析：由\(a+2\leq 2\)且\(a\ge -\cfrac{1}{2}\)，得到\(a\in [-\cfrac{1}{2}，0]\)，故选\(B\)。
例13【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】设集合\(A=\{x |x^2\leqslant x \}\)，\(B=\{x |\cfrac{1}{x}\geqslant 1\}\)，则\(A\cap B\)=【】
$A.(-\infty，1]$ $B.[0，1]$ $C.(0，1]$ $D.(-\infty，-1]\cup (0，1]$分析：训练解不等式和集合运算，选\(C\).
例14【三轮模拟】设集合\(M=\{x\in R |(x-1)^2\leqslant 1\}\)，\(P=\{x\in R |\cfrac{x-1}{x+2}\leqslant 0\}\)，则\(M\cap P\)=【】
$A.(-2，1]$ $B.[-1，3]$ $C.[0，1]$ $D.(-2，-1]$分析：训练解不等式和集合运算，选\(C\).
拔高习题
例1(2016.湖北七市联考)已知集合\(P=\{n|n=2k-1，k\in N^*，k\leq 50\)，\(Q=\{2，3，5\}\)，则集合\(T=\{xy|x\in P，y\in Q\}\)中元素的个数为多少？
分析：集合\(P\)中分别有50个元素，\(Q\)中分别有3个元素，两两相乘，不计重复共有\(50\times 3=150\)个元素，其中重复元素可以这样统计：
当\(x\in P，y=2\)时，\(xy\)一定时偶数，而\(x\in P，y=3\)与\(x\in P，y=5\)时的\(xy\)值为奇数，二者不会重复；
但是\(x\in P，y=3\)与\(x\in P，y=5\)时的\(xy\)值都是奇数，有可能重复；具体的重复的个数计算如下：
令\(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)\)，\(k_1，k_2\in N^*，1\leq k_1，k_2\leq 50\)，变形为\(k_2=\cfrac{3k_1+1}{5}\)，当\(k_1=3，8，13，18，23，28，33，38，43，48\)时，对应的\(k_2\in N^*\)，故重复的元素有10个，故集合\(T=\)中元素的个数为\(150-10=140\)个。
例2已知集合\(A=\{x\in Z\mid x^2-3x+2\leq 0\}\)，\(B=\{x \mid \cfrac{1}{2}\leq 2^x\leq 4\}\)，则\(A\cap B\)的子集的个数是【 】
$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$提示：\(A\cap B=\{1，2\}\)，故选\(D\).
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