UA MATH566 用Basu定理证明统计量不完备
UA MATH566 用Basu定理证明统计量不完备
Basu定理:有界完备最小充分统计量与辅助统计量独立。我们先简单证明一下这个定理,记有界完备最小充分统计量为T(X)T(X)T(X),辅助统计量为A(X)A(X)A(X),则要证明二者独立,只需要
PX{A(X)∈B∣T(X)=t}=PX{A(X)∈B},B是Borel集P_X\{A(X) \in B|T(X)=t\} = P_X\{A(X) \in B\},B是Borel集 PX{A(X)∈B∣T(X)=t}=PX{A(X)∈B},B是Borel集
其中
PX{A(X)∈B∣T(X)=t}=PX{X∈A−1(B)∣T(X)=t}PX{A(X)∈B}=PX{X∈A−1(B)}P_X\{A(X) \in B|T(X)=t\} = P_X\{X \in A^{-1}(B)|T(X)=t\} \\ P_X\{A(X) \in B\}=P_X\{X \in A^{-1}(B)\} PX{A(X)∈B∣T(X)=t}=PX{X∈A−1(B)∣T(X)=t}PX{A(X)∈B}=PX{X∈A−1(B)}
记PX{X∈A−1(B)}=pP_X\{X \in A^{-1}(B)\} =pPX{X∈A−1(B)}=p,因为PX{X∈A−1(B)∣T(X)=t}=EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]P_X\{X \in A^{-1}(B)|T(X)=t\} =E_X[I_{A^{-1}(B)}(X)|T(X)=t]PX{X∈A−1(B)∣T(X)=t}=EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t],相当于需要证明
EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]=pE_X[I_{A^{-1}(B)}(X)|T(X)=t]=p EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]=p
定义h(t)=EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]−ph(t)=E_X[I_{A^{-1}(B)}(X)|T(X)=t]-ph(t)=EX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]−p,计算
E[h(T)]=ETEX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]−p=EX[IA−1(B)(X)]−pE[h(T)]=E_T E_X[I_{A^{-1}(B)}(X)|T(X)=t]-p = E_X[I_{A^{-1}(B)}(X)]-p E[h(T)]=ETEX[IA−1(B)(X)∣T(X)=t]−p=EX[IA−1(B)(X)]−p
因为EX[IA−1(B)(X)]=PX{X∈A−1(B)}=pE_X[I_{A^{-1}(B)}(X)]=P_X\{X \in A^{-1}(B)\} =pEX[IA−1(B)(X)]=PX{X∈A−1(B)}=p,因此E[h(T)]=0E[h(T)]=0E[h(T)]=0,根据TTT的完备性,h(t)=0a.s.h(t)=0\ a.s.h(t)=0 a.s.,定理得证。
根据Basu定理,要证明某个最小充分统计量不完备,只需要找到它与某个辅助统计量不独立的反例即可。
辅助统计量:分布与参数无关的统计量,位置参数族样本的差就是辅助统计量,尺度参数族样本的商就是辅助统计量。
例1 N(μ0,σ2)N(\mu_0,\sigma^2)N(μ0,σ2)为总体,则∑i=1n(Xi−μ0)2\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2∑i=1n(Xi−μ0)2是σ2\sigma^2σ2的最小充分统计量,X1−μ0X2−μ0\frac{X_1-\mu_0}{X_2-\mu_0}X2−μ0X1−μ0是一个辅助统计量,显然这个辅助统计量与最小充分统计量并不独立,因此∑i=1n(Xi−μ0)2\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2∑i=1n(Xi−μ0)2不是完备统计量,也就不是σ2\sigma^2σ2唯一的UMVUE,比如∑i=1nXi2−nμ02\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\mu_0^2∑i=1nXi2−nμ02就是另一个UMVUE。
例2 U(θ−1/2,θ+1/2)U(\theta-1/2,\theta+1/2)U(θ−1/2,θ+1/2)为总体,(X(1),X(n))(X_{(1)},X_{(n)})(X(1),X(n))是最小充分统计量,但X(n)−X(1)X_{(n)}-X_{(1)}X(n)−X(1)是辅助统计量,因此(X(1),X(n))(X_{(1)},X_{(n)})(X(1),X(n))不完备。
总结
以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH566 用Basu定理证明统计量不完备的全部内容,希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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